En dynamique stochastique, la résolution des équations différentielles non linéaires du second ordre régissant la dynamique des systèmes mécaniques soumis à des excitations aléatoires modélisées par des processus stochastiques est très souvent menée en contexte Monte-Carlo et dans ce contexte deux stratégies sont possibles, qui consistent :
pour la première :
- simuler l’excitation aléatoire à l’aide d’une méthode de simulation adaptée
- pour chaque réalisation simulée de l’excitation, à résoudre, à l’aide d’un schéma numérique approprié, l’équation différentielle déterministe du second ordre obtenue, et obtenir ainsi un échantillon de réalisations simulées du processus solution, et enfin
- estimer les caractéristiques cherchées de ce processus par traitement statistique de l’échantillon numérique obtenu ;
pour la seconde :
- ramener l’équation différentielle aléatoire du second ordre de départ à une équation différentielle stochastique du premier ordre (au sens de Itô ou de Stratonovich)
- résoudre cette dernière à l’aide d’un schéma numérique approprié exploitant la structure markovienne des solutions de telles équations.
L’objet de l’action « Méthodes de Monte-Carlo pour la dynamique stochastique » est alors de développer et mettre en oeuvre des outils numériques adaptés à ces deux stratégies et possédant les propriétés requises pour être exploitables en contexte industriel.
Pour la stratégie directe on dispose d’algorithmes performants dans le cas gaussien (stationnaire et non stationnaire) mais pas pour le cas non gaussien. L'effort est donc porté plus particulièrement dans cette direction en s’appuyant pour cela sur des travaux récents développés à l'ONERA. Concernant la stratégie indirecte, observons d’abord qu’elle ne peut être employée que dans le cas où l’excitation est gaussienne, stationnaire et physiquement réalisable, auquel cas on peut se ramener à une équation différentielle stochastique du premier ordre en utilisant une technique de markovianisation. Notons ensuite que pour la résolution de ce type d’équation beaucoup de travail reste à faire dans le cas non linéaire malgré les efforts déployés dans ce domaine ces dernières années. Une piste semble toutefois prometteuse pour les systèmes non linéaires pouvant être formulés comme de petites perturbations de systèmes non linéaires conservatifs. En effet, dans ce cas, en utilisant des résultats de l’analyse numérique des systèmes hamiltoniens déterministes et en exploitant le caractère symplectique des flots hamiltoniens, il semble possible de pouvoir construire des algorithmes de résolution numérique très performants pour les équations différentielles stochastiques non linéaires. Un effort de recherche important est donc également porté dans cette direction.