S’appuyant sur des travaux menés au sein de l’équipe MPS du LaMI au cours de la dernière décennie, cette action est dédiée au développement d’une méthodologie probabiliste permettant l’identification des caractéristiques dynamiques d’une structure et la mise à jour d’un modèle numérique de son comportement. Ce problème est aléatoire par nature car les paramètres d’entrée du modèle sont incertains et les mesures expérimentales sont entachées d’incertitude. Au sein du thème APS, l’identification des caractéristiques dynamiques est basée principalement sur deux approches.

La première approche consiste à l’emploi des méthodes du Décrément Aléatoire et de la Proper Orthogonal Decomposition, et la mise à jour du modèle fait appel à des techniques bayesiennes et de Stochastic Updating. Le résultat attendu est la caractérisation probabiliste des paramètres modaux du modèle et l’élaboration d’une méthodologie fiabiliste permettant l’évaluation de l’état de la structure et de sa durée de vie résiduelle. L’application visée est l’étude de la durabilité des structures et l’évaluation quantitative de la santé structurale des ouvrages de Génie Civil au cours du temps.

La deuxième approche se base sur la méthode TFDD (Time-Frequency Domain Decomposition) où les réponses vibratoires mesurées en conditions normales de service sont décomposées dans le domaine de temps-fréquence par la transformation continue en ondelettes. La méthode a été  vérifiée pour les structures de génie civil (bâtiments, ponts…) sous excitation ambiante. Une adaptation de la méthode pour l’identification des machines et des robots est en cours où des excitations harmoniques sont toujours présentes.

Dans le cadre de cette action, trois travaux de recherche ont été programmés qui font chacun appel à des méthodologies basées sur des méthodes probabilistes  étudiées, développées et implémentées au cours du précédent quadriennal : linéarisation équivalente, linéarisation à paramètres aléatoires, moyennisation stochastique, maximum d’entropie, …

Le premier travail est une contribution à l’évaluation probabiliste de la fragilité sismique d’installations nucléaires. Il s’agit plus particulièrement de développer une méthode d’évaluation des courbes de fragilité capable d’intégrer à la fois les retours d’expériences (expérimentaux ou post-sismiques), les jugements d’experts et des résultats numériques issus de simulations de Monte-Carlo.  In fine, cette méthode devra permettre d’obtenir des estimations pertinentes de ces courbes en proposant une mise en œuvre compatible avec un cadre industriel requérant, à l’échelle d’une installation nucléaire, d’évaluer ces caractéristiques sur un nombre significatif de composants.

Le second travail est consacré au développement et à  la mise en œuvre d’une approche probabiliste de la sécurité des véhicules en zones accidentogènes. Au cours du quadriennal 2007-2011, un premier travail a concerné les véhicules légers et a donné lieu au développement d’une procédure fiabiliste d’alerte destinée à prévenir les conducteurs de l’éventuelle dangerosité de leur conduite en entrée de virage. Un point important et original de ces travaux est la prise en compte, par des modélisations stochastiques adaptées (variables et processus aléatoires), de l’incertitude affectant les paramètres physiques, mécaniques et géométriques du triptyque Véhicule-Conducteur-Infrastructure, ainsi que la mise au point d’outils numériques capables d’agréger ces modèles à la méthodologie fiabiliste proposée. Dans le cadre du quadriennal 2012-2015, cette recherche est prolongée aux véhicules poids lourds de type semi-remorques pour lesquels une étude de la stabilité vis-à-vis des phénomènes de « mise en portefeuille » et de renversement est effectuée.

Le troisième travail concerne l’analyse probabiliste du  comportement dynamique non linéaire de structures du Génie Civil soumises à des excitations aléatoires modélisées par des bruits gaussiens colorés, stationnaires ou non stationnaires. La méthode des éléments finis, dans ses versions « p » et « hp », sera l’outil numérique de base et on s’intéressera plus particulièrement à l’étude de l’influence des non-linéarités sur le couplage probabiliste des modes vibratoires. L’analyse numérique sera complétée par une étude expérimentale menée sur des éléments de structures de type plaques épaisses multicouches et coques minces.

Les modèles mécaniques et physiques considérés dans cette action sont, soit des modèles statiques décrits par des équations algébriques ou des équations aux dérivées partielles, soit des modèles dynamiques décrits par des équations différentielles ordinaires et ont tous en commun de comporter des paramètres incertains modélisés par des variables, des processus ou des champs aléatoires. La résolution de telles équations a donné lieu ces vingt dernières années à de nombreux travaux qui ont abouti au développement de plusieurs méthodes plus ou moins bien adaptées au contexte industriel. Les acteurs du thème APS se sont également impliqués dans ces recherches en contribuant notamment au développement de deux grandes classes de méthodes de type éléments finis : celles basées sur les développements en chaos polynomiaux et celles fondées sur la technique de collocation stochastique. L’objectif est de poursuivre dans ces deux directions en faisant notamment porter l’effort sur les développements en chaos pour les équations aux dérivées partielles de l'électromagnétisme pour la première et sur l’extension de la seconde à la dimension industrielle.

En dynamique stochastique, la résolution des équations différentielles non linéaires du second ordre régissant la dynamique des systèmes mécaniques soumis à des excitations aléatoires modélisées par des processus stochastiques est très souvent menée en contexte Monte-Carlo et dans ce contexte deux stratégies sont possibles, qui consistent :

pour la première :

1. simuler l’excitation aléatoire à l’aide d’une méthode de simulation adaptée
2. pour chaque réalisation simulée de l’excitation, à résoudre, à l’aide d’un schéma numérique approprié, l’équation différentielle déterministe du second ordre obtenue, et obtenir ainsi un échantillon de réalisations simulées du processus solution, et enfin
3. estimer les caractéristiques cherchées de ce processus par traitement statistique de l’échantillon numérique obtenu ; 

pour la seconde :

1. ramener l’équation différentielle aléatoire du second ordre de départ à une équation différentielle stochastique du premier ordre (au sens de Itô ou de Stratonovich)
2. résoudre cette dernière à l’aide d’un schéma numérique approprié exploitant la structure markovienne des solutions de telles équations.

L’objet de l’action « Méthodes de Monte-Carlo pour la dynamique stochastique » est alors de développer et mettre en oeuvre des outils numériques adaptés à ces deux stratégies et possédant les propriétés requises pour être exploitables en contexte industriel.

Pour la stratégie directe on dispose d’algorithmes performants dans le cas gaussien (stationnaire et non stationnaire) mais pas pour le cas non gaussien. L'effort est donc porté plus particulièrement dans cette direction en s’appuyant pour cela sur des travaux récents développés à l'ONERA. Concernant la stratégie indirecte, observons d’abord qu’elle ne peut être employée que dans le cas où l’excitation est gaussienne, stationnaire et physiquement réalisable, auquel cas on peut se ramener à une équation différentielle stochastique du premier ordre en utilisant une technique de markovianisation. Notons ensuite que pour la résolution de ce type d’équation beaucoup de travail reste à faire dans le cas non linéaire malgré les efforts déployés dans ce domaine ces dernières années. Une piste semble toutefois prometteuse pour les systèmes non linéaires pouvant être formulés comme de petites perturbations de systèmes non linéaires conservatifs. En effet, dans ce cas, en utilisant des résultats de l’analyse numérique des systèmes hamiltoniens déterministes et en exploitant le caractère symplectique des flots hamiltoniens, il semble possible de pouvoir construire des algorithmes de résolution numérique très performants pour les équations différentielles stochastiques non linéaires. Un effort de recherche important est donc également porté dans cette direction.